Como uma fórmula esculpida em uma ponte mudou a história da matemática?

Em 16 de outubro de 1843, o matemático irlandês William Rowan Hamilton teve uma revelação durante uma caminhada ao longo do Royal Canal, em Dublin. Empolgado com uma recente descoberta, ele pegou uma faca de bolso e esculpiu a nova fórmula criada na Broome Bridge. O que surgiu foi o que hoje é considerado o grafite mais famoso da história da matemática: “i² = j² = k² = -1”.

Essa fórmula, aparentemente simples, mudou para sempre a forma como a matemática representa informações. Desde cálculos de forças em projetos de engenharia, como pontes e turbinas, até a programação de motores de busca e a orientação de sondas em Marte. Com isso, o impacto da descoberta de Hamilton se espalhou por uma infinidade de aplicações técnicas.

Desafio de três dimensões

O problema que Hamilton enfrentava era representar a relação entre diferentes direções no espaço tridimensional. Até então, os matemáticos sabiam como usar coordenadas (x, y e z) para descrever a posição de um objeto, mas rotacionar essas coordenadas exigia uma geometria esférica complicada. Inspirado por uma técnica que utilizava números complexos para rotações em duas dimensões, Hamilton tentou expandir essa ideia para três dimensões.

Foi uma longa jornada de meses até ele perceber que, para estender essa técnica para o espaço 3D, precisaria de números complexos quadridimensionais. Esses números incluiriam três partes imaginárias, representadas por i, j e k, cada uma perpendicular às outras. Ele definiu que k seria igual a ij = -ji, o que, junto com a equação i² = j² = k² = -1, formou a revelação que o atingiu como um raio na Broome Bridge.

Com essa nova estrutura, Hamilton deu um grande passo ao criar os "quatérnios", números 4D usados para calcular rotações geométricas no espaço tridimensional, uma técnica que ainda é essencial em robótica e na orientação de satélites.

Quatérnios e o surgimento de vetores

O verdadeiro toque de mágica, no entanto, estava na parte imaginária dos quatérnios, que Hamilton chamou de "vetor". Um vetor é capaz de codificar duas informações simultaneamente, como a magnitude e a direção de uma força, velocidade ou posição. Para representar a posição de um objeto no espaço, ele visualizou uma seta que apontava do ponto de origem para a localização do objeto, formando o que hoje conhecemos como "vetor posição".

Décadas depois, o inglês Oliver Heaviside revolucionou a análise vetorial ao substituir os componentes imaginários (i, j, k) por vetores unitários reais, mantendo as mesmas regras matemáticas de multiplicação. Hoje, os vetores estão presentes em áreas que vão desde a física de partículas até a computação gráfica, onde rotacionar um objeto em 3D ainda é mais fácil com o uso de quatérnios — como bem sabem os programadores da NASA.

O impacto da descoberta de Hamilton é celebrado todos os anos em 16 de outubro, no Hamilton Day, quando entusiastas refazem a caminhada do matemático em Dublin. Seu legado permanece vivo não apenas no mundo acadêmico, mas em tecnologias que todos utilizam diariamente.